GEOMETRÍA Y SU DIDÁCTICA PARA MAESTROS

I.              Tema:

Teniendo en cuenta la formación que actualmente debe tener un maestro por el desarrollo tan avanzado de la sociedad. Un documento completo ya que está dividido en tres capítulos dentro de los cuales se toma en cuenta la contextualización profesional, los conocimientos matemáticos y sobre todo los conocimientos didácticos.

II.            Resumen

Material de lectura para maestros sobre la enseñanza de la geometría en educación primaria. Se presenta organizado en tres capítulos. El primer capítulo trata de figuras geométricas, el segundo capítulo sobre transformaciones geométricas (simetría y semejanzas), y el tercer capítulo, sobre orientación espacial y sistemas de referencia.

El objetivo de este trabajo consiste en un análisis curricular comparativo de distintos programas de materias asignadas al área de didáctica de la matemática, relacionadas la geometría y su didáctica. Se pretende enfocar y abordar situaciones y necesidades comunes desde distintos puntos de vista, los cuales quedan plasmados en la descripción de  la metodología de cada docente.

III.           Precisión de ideas principales y su argumento

Capítulo 1: Figuras geométricas

1.    Desarrollo cognitivo y progresión en el aprendizaje

1.1.        Las investigaciones de Piaget sobre el desarrollo de conceptos geométricos. Las primeras interacciones del niño pequeño con su entorno, previas al desarrollo del lenguaje, se basan casi totalmente en experiencias espaciales, muy en particular a través de los sentidos de la vista y el tacto. Distingue entre percepción, que define como el “conocimiento de objetos resultante del contacto directo con ellos”, y representación (o imagen mental), que “comporta la evocación de objetos en ausencia de ellos”. En cada uno de estos estadios de desarrollo, Piaget distingue, además, una progresiva diferenciación de propiedades geométricas.

·         Propiedades topológicas.

·         Propiedades proyectivas.

·         Propiedades euclideas.

1.2.        El modelo de los niveles de van Hiele

En este modelo se proponen cinco niveles jerárquicos para describir la comprensión y el dominio de las nociones y habilidades espaciales.

·         Nivel 0: Visualización

·         Nivel 1: Análisis

·         Nivel 2: Deducción informal

·         Nivel 3: Deducción

·         Nivel 4: Rigor

2.    Situaciones y recursos didácticos

2.1.        Juegos de psicomotricidad

Las situaciones de juegos de psicomotricidad parecen muy recomendables para iniciar el estudio de distintos aspectos de la geometría. En el libro de A. Martínez y F. Juan (1989) encontramos abundantes ejemplos de este tipo de situaciones, así como los fundamentos metodológicos en los que basan su propuesta curricular.

2.2.        Descripción y clasificación de objetos

Uno de los primeros tipos de actividades más importantes que se pueden proponer a los niños es ofrecerles la oportunidad de encontrar semejanzas y diferencias entre una gran variedad de formas. Muchos niños se centrarán en características no estándares como “puntiagudo” o “curvado”, o “se parece a una casa”. Otros observarán cosas que realmente no son parte de las formas: “señala hacia arriba”, o “está cerca del borde la mesa”.

2.3.        Construcción y exploración de polígonos

Interesa que los propios niños construyan y dibujen formas. En una primera fase harán formas de manera libre para pasar después a construir otras que cumplan algunas condiciones. Esto promoverá la reflexión sobre las propiedades implicadas y estimulará el paso al nivel 1 de razonamiento sin necesidad de presionar a los niños de manera forzada. Los materiales para realizar estas construcciones pueden ser variados, bien del entorno escolar o bien comerciales (plastilina, cartulina, bloques encajables, trangram, geoplanos, etc.)

2.4.         Construcción y exploración de sólidos

La construcción de formas tridimensionales presenta un poco de más dificultad que las formas bidimensionales pero posiblemente sea una actividad más importante. Construir un modelo de una forma tridimensional es una manera informal de lograr la comprensión de la forma de una manera intuitiva en términos de sus partes componentes.

2.5.         Geometría dinámica (Logo y Cabrí)

Si se dispone en la escuela de un aula con ordenadores es posible utilizar programas comerciales disponibles para el estudio de la geometría. Entre estos programas podemos citar el Cabri y el módulo de la “geometría de la tortuga” del lenguaje de programación Logo (Godino y Batanero, 1985).

3.     Conflictos en el aprendizaje. Instrumentos de evaluación

Incluimos en esta sección una colección de items usados en diversas investigaciones para evaluar los conocimientos geométricos de los niños, indicando algunas de las respuestas erróneas encontradas, o los índices de dificultades.

4.     Taller de didáctica: análisis de situaciones escolares

Respuestas de estudiantes a pruebas de evaluación

Análisis de materiales didácticos.

Análisis de textos escolares. Diseño de unidades didácticas.

Capítulo 2: Transformaciones geométricas, simetría y semejanza.

1.     Desarrollo cognitivo y progresión en el aprendizaje

Al parecer, su principal valor reside, para la mayoría de los niños, en el estudio de ciertas transformaciones por el valor intrínseco de éstas, no tanto porque contribuyan a proporcionar una imagen unificada de las matemáticas. El estudio de las transformaciones se puede basar en acciones fáciles de realizar (por medio de plegados y giros), por lo que pueden servir para generar descubrimientos relativos a las transformaciones y para comprobar las predicciones e inferencias de los niños. También contribuye a resaltar aspectos más tradicionales de la geometría, como la congruencia y la semejanza. Transformaciones geométricas 

La comprensión por los niños de distintas edades de las traslaciones, giros y simetrías ha sido evaluada en distintas investigaciones.

Capítulo 3: Sistemas de referencia

1.    . Desarrollo cognitivo y progresión en el aprendizaje

El desarrollo de sistemas de referencia:

La esencia de un sistema de referencia es la relación de las partes móviles con algún aspecto invariable y estacionario del espacio; por ejemplo, una superficie horizontal, los ejes de una gráfica, la noción de dirección norte. Tales son los puntos de referencia que proporcional el armazón sobre el cual estudiar el movimiento de, pongamos por caso, bloques de construcción, un triángulo o un barco.

Según Piaget e Inhelder, el desarrollo de sistemas de referencia se funda en la capacidad natural de utilizar el que ellos describen como marco de referencia natural, a saber, el correspondiente a la horizontal y la vertical.

La variable tamaño del espacio

Una de las variables que se debe tener en cuenta en el proceso de adquisición del dominio de las relaciones con el espacio es la dimensión física del ámbito con el que el sujeto entra en relación. Las investigaciones psicológicas muestran que el niño va estructurando sectores más amplios del espacio a medida que incrementa la magnitud de sus propios desplazamientos. Brousseau distingue tres valores de la variable “tamaño del espacio” con el que interactúa el sujeto. Estos valores implican modos diferentes de J. D. Godino y F. Ruiz relaciones con los objetos incluidos en ese sector del espacio y, en consecuencia modelos conceptuales diferentes para orientar la acción del sujeto. Esta variable interesa segmentarla en tres valores: microespacio, mesoespacio y macroespacio.

IV.          Cartografía

I.              Referencias de la fuente

Godino, J. y. (16 de Setiembre de 2016). Geometrìa y su Didàctica para Maestros. Obtenido de Proyecto Edumat-Maestros: http://www.ugr.es/~jgodino/edumat-maestros/manual/4_Geometria.pdf

Preguntas de Razonamiento Matemático

1. ¿Cuál es el mecanismo de la actividad matemática según la teoría de localización cerebral?

Según la teoría de la localización cerebral, la activación matemática se presenta, en mayor medida, en el lóbulo parietal y frontal del cerebro. Dentro del lóbulo parietal, se registra mayor consumo de energía con la actividad matemática en región denominada surco intraparietal y en la región inferior.  Actualmente, se cree que las tareas complejas del procesamiento matemático se deben a la interacción simultánea de varios lóbulos del cerebro.

2. ¿Cuáles son los acoplamientos del desarrollo intelectual en la interrelación con el medio?

·         Acoplamiento por adaptación: El conocimiento matemático que se posee se aplica a la realidad para su objeto de estudio o contribuye a su desarrollo. Por ejemplo: La ciencia que estudia una realidad física hace uso de teorías matemáticos ya descubiertas.

·         Acoplamiento por modelización: La matemática estudia la realidad, creando modelos a partir del conocimiento matemáticos que se posee; la finalidad de un modelo matemático consiste en explicar el comportamiento de esa realidad física.

·   Acoplamiento por resurgimiento: El conocimiento matemático se reconoce en el comportamiento de realidades.

3. ¿Qué fenómeno capital o principal ocurre cuando comparamos números?

Cuando comparamos números para saber cuál es mayor o menor, ocurre siempre un mismo fenómeno: cuanto más distancia hay entre estos números, menos tiempo se tarda en decidir. A este fenómeno se le conoce como: “el efecto de distancia”.

4. Los ejercicios numéricos y operaciones de cálculo, ¿Qué activaciones cerebrales genera?

·     Los ejercicios numéricos y operaciones de cálculo activan la parte horizontal del surco intraparietal del cerebro, en la cual siendo esta región que se desarrolla el procesamiento de la cantidad y comparación de números.

·         Giro angular: Cálculo matemático.

·         Sistema parietal superior bilateral posterior: Comparación numérica, cálculo aproximado y restas de 2 dígitos.

5. ¿Qué fenómeno se deriva de la relación entre educación y neurociencia?

La exposición informativa de un tema exige habitualmente que el alumno se limite tan solo a escuchar, lo que provoca una pasiva actividad cerebral. Dado que los estímulos del cerebro son bajos, suele inhibirse la motivación y variables afectivo-sociales, de la misma manera las respuestas de acción y reacción mental. Al contrario, cuando se presenta propuestas desafiantes la fijación cerebral es obligada a realizar mayor esfuerzo intelectual. En esta situación no es la información, sino la formulación de preguntas la que reina de modo supremo. Se activan las atribuciones, la motivación, la reflexión, la autoestima. El cerebro consciente registra mayor información.

6. ¿Qué ideas fundamentan la enseñanza para el aprendizaje?

Lo que hace falta es escuchar.

• Todos los niños tienen una misma necesidad de aprender.
• Por naturaleza humana, todo sujeto quiere aprender; el cerebro es un órgano incansable en la búsqueda de respuestas.
• La enseñanza tiene que nacer escuchando y vivir escuchando, preguntarse por qué los niños dicen lo que dicen, por qué los niños hacen lo que hacen.
• El desarrollo de la intuición, la observación, el razonamiento y las posibles combinaciones creativas.
• Es de vital importancia medir correctamente los objetivos.

7. ¿Qué experiencias explican la naturaleza multimodal de la cognición cerebral?

Las afirmaciones de Dehaene proponían que si bien es cierto que el hemisferio izquierdo desempeña un papel importante en el pensamiento aritmético, ciertas tareas, como la comparación y la aproximación de números, pueden ser efectuadas por el hemisferio derecho. Durante la resolución de problemas aritméticos, los hemisferios cerebrales interactúen al enviarse información mutuamente.

Chocon, Cohen, Van de Moortele y Dehaene, observaron que cuando los individuos comparan números hay una activación en lo profundo de la hendidura postcentral derecha. La multiplicación provocó una fuerte activación de la hendidura interparietal izquierda; la sustracción causó una mayor actividad en el lóbulo prefrontal, de manera específica en ambas partes de la circonvolución frontal inferior y en la circonvolución del dorso-lateral prefrontal derecho, así como en la región anterior del surco interparietal derecho.

Cada tarea mostró una actividad adicional a ciertas regiones ya activadas.

8. ¿Existe relación entre partes del cerebro y determinadas funciones matemáticas?

Sí existe relación, por ejemplo:

Al comparar números hay una activación en lo profundo de la hendidura postcentral derecha.

La multiplicación provoca una fuerte activación de la hendidura interparietal izquierda.

Los cálculos numéricos están asociados al lóbulo parietal izquierdo en el cerebro.

La corteza prefrontal a menudo se asocia con el acceso a la información y las operaciones para determinar objetivos.

9. ¿Cómo se explica el desarrollo del proceso regresivo y el proceso progresivo en el desarrollo neuronal?

PROCESO PROGRESIVO: resulta de la proliferación neurológica de la migración y milinación de células (crecen más dendritas y ramificaciones) y la milinación (permite que los impulsos nerviosos se conduzcan a mayor velocidad), este proceso de milinación se inicia a los 8 – 12 meses y se completa hasta la tercera década.

PROCESO REGRESIVO: surge de la muerte de células desconexión esto se refiere a la disminución y eliminación de dendritas esto porque no ha hecho sinapsis (comunicación entre las neuronas), esta eliminación se da a partir de los 5 años de edad. La pérdida de habilidades del desarrollo obtenido previamente esto afecta a la espasticidad, rigidez, trastornos visuales.

10. ¿Cómo se manifiesta la plasticidad de la corteza cerebral?

•  La plasticidad neuronal llamada neuroplasticidad.
• Es la propiedad que emerge de la naturaleza y funcionamiento de las neuronas cuando estas establecen comunicación.
• Modula la percepción de estímulo del medio, tanto en los que entran como en los que salen.
• Representa la facultad del cerebro de adaptarse y reestructurarse.
• Se manifiesta adaptándose a medios y contextos muy diferentes.

11. Explicar las funciones y disfunciones del lóbulo parietal izquierdo.

• Giro angular: Tareas matemáticas, cálculos simples, proceso verbal de cantidades, multiplicación y adición de pequeñas cantidades, representación numérica espacial.
• Surco intraparietal: Cálculo aritmético con la ayuda de dígitos, representación interna de cantidades y habilidad de cálculo.
• Circunvolución angular: Resolución de problemas (multiplicación), valores numéricos.
• Segmento horizontal intraparietal: Resolución de problemas numéricos, representación y procesamiento de series ordinales no numéricas.
• Trastorno de discalculia (Investigación del Dr. Brian Butterworth): Dificultad para comprender y realizar cálculo matemático.

12. ¿El hemisferio cerebral derecho desarrolla funciones asociadas al aprendizaje matemático?

·         El comparar números provoca una activación en lo profundo de la hendidura postcentral derecha.

·         Se ubica la percepción u orientación espacial, la conducta emocional.

13. Explicar la relación entre bagaje biológico y el aprendizaje matemático.

Según Wynn, dentro de nuestro bagaje biológico poseemos un sistema matemático simple (modelo numérico), el cual nos permite distinguir pequeños números y hacer sumas y restas muy elementales. La aparición del lenguaje oral y escrito transforma la aritmética elemental o innata, la inclusión de palabras “uno”, “dos”, “tres” y después la aritmética simbólica, aritmética perceptual o concreta y la aritmética abstracta.

14.  Reseñar los estudios que intentan explicar la relación entre el pensamiento algebraico y cerebro

Para intentar descifrar la edad óptima para el estudio del algebra, se realizó una serie de estudios:

• Primera serie: Realizada por Anderson, Reder y Renier, de la universidad de Caneige Mellon, quienes enfocaron a la memoria de trabajo, dichas investigaciones revelan que la misma se ve afectada por el esfuerzo mental que deba realizar la persona.
• Intermedio: John Anderson y otros colaboradores, perfeccionaron el modelo matemático cognitivo utilizando resonancia magnética, en lo cual se detalló que las regiones activadas durante la solución de ecuaciones son: la corteza prefrontal, la corteza parietal posterior, la corteza motora.

Segunda serie: Realizada por Yuli Qin e investigadores, se realizó con jóvenes de entre 12 y 15 años (sin conocimientos de algebra) para hallar la dad óptima para el dominio del algebra. Los resultados fueron similares, las mismas zonas generaban activación al inicio del experimento: región prefrontal, región parietal izquierda, regiones motriz y sensorial izquierda.  

15.- Precisar las diversas dificultades que se presentan en el desarrollo numérico.

Las dificultades en el aprendizaje de las matemáticas pueden ser entendidas como una entidad clínica. El Manual diagnóstico y estadístico de los trastornos mentales, distingue cuatro categorías de trastornos de aprendizaje:

·         Trastorno del cálculo, según la clasificación internacional de enfermedades, decima revisión.

• Trastorno específico de las habilidades matemáticas (dificultades matemáticas).
• Trastorno mixto de las habilidades escolares (también se presentan problemas de lectoescritura).
• Trastorno por déficit de atención.

·         Se presentan algunas causas de las dificultades numéricas:

• Trastornos Metabólicos: Fenilcetonuria (alteración congénita del metabolismo causada por carencia de la enzima fenilalanina).
• Trastornos Neuroatómicos: Discalculia (Dificultad para comprender y realizar cálculos matemáticos).
• Trastornos Neuropsiquiátricos: Hiperactividad (Caracterizada principalmente por dificultades en la atención y aprendizaje).
• Trastornos Genéticos : Síndrome de Turner ( el procesamiento numérico disminuye su actividad a medida que aumenta la dificultad de la tarea matemática.

16. ¿Qué es un modelo teórico y cómo explican el desarrollo numérico y sus dificultades?

Algunos modelos teóricos abordan las dificultades en matemáticas atendiendo a los procesos que conforman el aprendizaje matemático, que resultan útiles para el campo educativo. Dentro de ellos se distinguen:

Modelos de desarrollo cognitivo y neuropsicológicos. Se centran en las diferencias individuales.

• Déficit en la representación de las magnitudes aproximadas
• Dificultades para procesar los dígitos arábigos
• No establecer correctamente las relaciones lógicas entre cantidades.

Teorías de dominio específico y de dominio general. Las primeras se remiten a las dificultades exclusivamente matemáticas (como el déficit en la capacidad de reconocer, representar y manipular cantidades, mientras que las segundas lo hacen a funciones o habilidades cognitivas más generales, no exclusivamente matemáticas, que al participar en el rendimiento matemático pueden afectarlo, como la inteligencia, es necesaria en la resolución de problemas lógicos, la metacognición, la memoria de trabajo y la memoria a largo plazo.

• Déficit en la capacidad de reconocer, representar y manipular cantidades.
• Habilidades cognitivas generales.

17.- Explicar la relación entre funcionamiento cerebral y trabajo didáctico.

El cerebro humano recibe 40000 millones de bits de información por segundo, pero solo somos conscientes de 2000, de la cual solo se almacena el 10% en la memoria, si a esto se le suma la cantidad de horas que un alumno permanece pasivo sin realizar actividad cerebral, el aprendizaje es casi nulo.

Diferente fijación se observa cuando se presenta:

•          Propuestas desafiantes de obligatorio esfuerzo mental, diálogos abiertos, formulación de preguntas
• Esto produce:
•          Atribuciones, motivación, reflexión, autoestima, registro de mayor información, memoria de trabajo, memoria a largo plazo

Además Las terminaciones nerviosas en las yemas de los dedos estimulan el cerebro, la manipulación de materiales genera una actividad cerebral que facilita la comprensión. Cuando se comprende lo que se está haciendo se activan más áreas cerebrales que al memorizar sinsentido.

Existen niños con habilidades diferentes y/o limitaciones, y su educación no termina cuando se decide que un alumno no conseguirá los objetivos propuestos, sino al encontrar mecanismos necesarios para conseguirlos. Por eso debe medirse los objetivos, se comete error al:

• Exigir más de lo que se puede dar.
• Se deja de exigir aquello que podría alcanzar.

Cerebro y conducta

I.              Tema:

Enfoques alternativos que describen la relación entre el cerebro y la conducta. Nos centraremos en el córtex cerebral, la parte del encéfalo que se ocupa de los aspectos superiores de la conducta humana. 

II.            Resumen

Dos enfoques alternativos describen la relación entre cerebro y conducta. El concepto actual de células nerviosas, encéfalo y conducta ha surgido gracias a cinco disciplinas principales: anatomía, embriología, fisiología, farmacología y psicología.

Franz Jhosep Gall funda la frenología, pseudociencia. Más tarde, gracias a los análisis experimentales de Pierre Flourens, nace una teoría llamada luego: la teoría del campo agregado del encéfalo. Karl Wernicke, Charles Sherrington y Ramón y Cajal nace un enfoque opuesto de la función cerebral, el conexionismo celular.

Los estudios de Pierre Paul Broca dieron como resultado qué región del cerebro está asociada al habla.

III.           Precisión de ideas principales y su argumento

Conceptos actuales de células nerviosas, encéfalo y conducta han surgido a partir de cinco disciplinas principales: anatomía, embriología, fisiología, farmacología y psicología.

Anatomía: el tejido nervioso no es una masa continua sino una red de células delimitadas. La neurona es el elemento básico del sistema nervioso.

Embriología: el extremo del axón da lugar al cono de crecimiento.

Fisiología: electrofisiología, se descubrió que la actividad eléctrica de una célula nerviosa afecta la actividad de otra célula.

Farmacología: naturaleza química de la comunicación entre células nerviosas.

Psicología: nace la psicología experimental (condiciones controladas) y la etología (condiciones naturales).

Frenología: pseudociencia que afirmaba que la conducta y personalidad de una persona podía ser estudiada debido a la las protuberancias del cráneo.

Teoría del campo agregado: distintas áreas del cerebro participan en la conducta.

Conexionismo celular: las neuronas individuales son las unidades de señalización del encéfalo. Diferentes conductas están mediadas por diferentes regiones del encéfalo, las cuales están conectadas por vías neurales particulares.

IV.              Cartografía

V. REFERENCIA DE LA FUENTE:

Kandel, E., Schwartz, J. & Jessell, T. (1997). Cerebro y conducta. E. Kandel (Ed.), Neurociencia y conducta. (pp. 5-20). Madrid: Prentice Hall.

Cartografía cerebral

La Neurona

Aportaciones de la neurociencia al aprendizaje de las habilidades numéricas

I.              Tema:

Revisión de los principales conocimientos aportados por las técnicas de neuroimagen al campo de aprendizaje de habilidades numéricas.

II.            Resumen

Estudio de la neuroimagen en el campo del aprendizaje de las habilidades numéricas.

Se habla sobre el avance de las técnicas de neuroimagen que han permitido conocer información importante respecto a las áreas cerebrales asociadas a las diversas tareas numéricas tanto en la edad adulta como en la infancia.

En el futuro estas investigaciones deben favorecer el desarrollo de programas aplicados al trabajo de las matemáticas en el ámbito educativo.

III.           Precisión de ideas principales y su argumento

Desarrollo numérico y sus dificultades:

Modelos teóricos: modelos de desarrollo cognitivo y neuropsicológicos. Teoría del dominio específico y del dominio general.

Segmento horizontal del SIP: procesamiento de cantidad.

Giro angular izquierdo: componentes verbales, tablas de multiplicar.

Sistema parietal superior bilateral posterior: comparación numérica, cálculo aproximado y las restas.

Cuando los niños son pequeños buscan el aprendizaje de un modo innato y exploran activamente las dimensiones matemáticas que los rodean.

Los programas educativos deben fortalecer la asociación de hechos aritméticos y el significado de sus componentes y aprovechar propuestas teóricas como el modelo del triple código o la teoría de la magnitud de Walsh para potenciar el procesamiento de magnitudes como el tiempo y espacio.

IV.          Cartografía 

I.              Referencias de la fuente

Gracia, M. & Escolano, E. (2014). Aportaciones de la neurociencia al aprendizaje de las habilidades numéricas. Revista Neurología. 58 (2), 69–76